Finding a pseudoExpoential LST

phiExp[s_]:=(1/(1+s))

phiPulse[s_,d_]:=(E^(-s d))

phi[s_]:=(Subscript[p, 0]) phiExp[s] + (Subscript[p, 1])phiPulse[s,(Subscript[d, 1])] + (Subscript[p, 2]) phiPulse[s,(Subscript[d, 2])] + (Subscript[p, 3]) phiPulse[s,(Subscript[d, 3])] + (Subscript[p, 4]) phiPulse[s,(Subscript[d, 4])]

(Subscript[p, 0])=(1/2);

m[k_]:=(((-1))^k)D[phi[s],{s,k}] /.s->0

m[0]

m[1]

pSols=First [Solve[Table[m[k]==k!,{k,0,3}],{(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),(Subscript[p, 3]),(Subscript[p, 4])}]] //Simplify

Manipulate[
{Sign[{(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]),(Subscript[p, 3]),(Subscript[p, 4])} /.pSols] ,{(Subscript[d, 1]),(Subscript[d, 2]),(Subscript[d, 3]),(Subscript[d, 4])}}/.{(Subscript[d, 1])->d1d2[[1]],(Subscript[d, 2])->d1d2[[2]],(Subscript[d, 3])->d3d4[[1]],(Subscript[d, 4])->d3d4[[2]]},{d1d2,{0,0},{5,5},0.1},{d3d4,{0,0},{5,5},0.1}]

{dd1,dd2,dd3,dd4}=QQQQ;

testPhi[s_]=phi[s]  /.pSols/.{(Subscript[d, 1])->dd1,(Subscript[d, 2])->dd2,(Subscript[d, 3])->dd3,(Subscript[d, 4])->dd4}

-D[testPhi[s],s] /.s->0

D[testPhi[s],{s,2}] /.s->0

-D[testPhi[s],{s,3}] /.s->0

D[testPhi[s],{s,4}]/.s->0

phi[s_]:=(1/2) (1/(1+s)) +(49/128)(E^(-s 1/2)) + (1/48)(E^(-s 3/2)) + (5/64) (E^(-s 5/2)) + (7/384) (E^(-s 9/2))